Aussagenlogik
Logische Schlüsse
Beispiel 1:
Aussage A: Es ist ein schwerer Unfall passiert.
Aussage B: Die Autofahrer halten an.
p1: A → B Wenn
ein schwerer Unfall passiert, halten die Autofahrer an.
p2: A
Es ist ein schwerer Unfall passiert.
S: B
(also) halten die Autofahrer an.
f = [(A → B) ∧ A] → B
| A | B | A → B | (A → B) ∧ A | [(A → B) ∧ A] → B |
| w | w | w | w | w |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | f | w |
| f | f | w | f | w |
Der Schluss ist zulässig.
Beispiel 2:
p1: A → B
Wenn ein schwerer Unfall passiert, halten die Autofahrer an.
p2: B
Die Autofahrer halten an.
S: A
(also) ist ein schwerer Unfall passiert
f = [(A → B) ∧ B] → A
| A | B | A → B | (A → B) ∧ B | [(A → B) ∧ B] → A |
| w | w | w | w | w |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | w | f |
| f | f | w | f | w |
Der Schluss ist nicht zulässig. Dies ist auch leicht einsehbar: An jeder roten Ampel halten die Autofahrer, ohne dass ein Unfall passiert ist.
Beispiel 3:
Ein Richter überlegt: Wenn der Angeklagte zur Tatzeit im Kino war (AK), dann kann er nicht am Tatort gewesen sein ¬(AT). Wenn der Angeklagte zur Tatzeit nicht am Tatort war (¬AT), kann er die Erbtante nicht ermordet haben (¬Ee). Schluss: Wenn der Angeklagte im Kino war (AK), dann kann er die Erbtante nicht ermordet haben (¬Ee).
p1: AK → ¬AT
p2: ¬AT → ¬Ee
S: AK → ¬Ee
f = [(AK → ¬AT) ∧ (¬AT → ¬Ee)] → (AK → ¬Ee)
| AK | AT | Ee | AK → ¬AT | ¬AT → ¬Ee | (AK → ¬AT) ∧ (¬AT → ¬Ee) | AK → ¬Ee | [(AK → ¬AT) ∧ (¬AT → ¬Ee)] → (AK → ¬Ee) |
| w | w | w | f | w | f | f | w |
| w | w | f | f | w | f | w | w |
| w | f | w | w | f | f | f | w |
| w | f | f | w | w | w | w | w |
| f | w | w | w | w | w | w | w |
| f | w | f | w | w | w | w | w |
| f | f | w | w | f | f | w | w |
| f | f | f | w | w | w | w | w |
Der Schluss ist zulässig.
Beispiel 4:
In einem Fernsehkrimi soll der Kommissar einen Mordfall
aufklären. Im Zuge seiner Ermittlungen hat er in der Unterwelt
drei Tatverdächtige U, V und W ausgemacht, über die er folgende
Erkenntnisse gesammelt hat:
P1: Mit Sicherheit ist mindestens einer der drei Tatverdächtigen
am Mord beteiligt.
P2: Wenn U unschuldig ist, dann hat auch V seine Finger nicht im
Spiel.
P3: Ist jedoch U in den Mordfall verwickelt, so hat auch W keine
reine Weste.
S: W ist an der Tat beteiligt.
p1: U ∨ V ∨ W
p2: ¬U → ¬V
p3: U → W
S: W
f= [(U ∨ V ∨ W) ∧ (¬U → ¬V) ∧ (U → W)] → W
| U | V | W | U ∨ V ∨ W | ¬U → ¬V | U → W | (U ∨ V ∨ W) ∧ (¬U → ¬V) ∧ (U → W) | [(U ∨ V ∨ W) ∧ (¬U → ¬V) ∧ (U → W)] → W |
| w | w | w | w | w | w | w | w |
| w | w | f | w | w | f | f | w |
| w | f | w | w | w | w | w | w |
| w | f | f | w | w | f | f | w |
| f | w | w | w | f | w | f | w |
| f | w | f | w | f | w | f | w |
| f | f | w | w | w | w | w | w |
| f | f | f | f | w | w | f | w |
Der Schluss ist zulässig.
Beispiel 5:
In der Einleitung kündigte Herr Müller den Besuch von Familie Meier an. Wer kommt denn nun?
P1: Wenn Herr Meier (V) kommt, dann kommt auch Frau Meier
(F).
P2: Uwe (U) oder Kai (K) oder beide kommen.
P3: Entweder kommt Frau Meier (F) oder Tim (T).
P4: Tim (T) und Kai (K) kommen oder beide nicht.
P5: Wenn Uwe (U) kommt, dann auch Kai (K) und Herr Meier
(V).
S1: Frau Meier (F) kommt.
S2: Tim (T) und Kai (K) kommen.
p1: V → F
p2.: U ∨ K ∨ (U ∧ K)
p3: (F ∧ ¬T) ∨ (¬F ∧ T)
p4: (T ∧ K) ∨ (¬T ∧ ¬K)
p5: U → (K ∧ V)
s1: F
s2: T ∧ K
f1= [(V → F) ∧ (U ∨ K ∨ (U ∧ K)) ∧ ((F ∧ ¬T) ∨ (¬F ∧ T)) ∧
((T ∧ K) ∨ (¬T ∧ ¬K)) ∧ (U → (K ∧ V))] → F
f2= [(V → F) ∧ (U ∨ K ∨ (U ∧ K)) ∧ ((F ∧ ¬T) ∨ (¬F ∧ T)) ∧
((T ∧ K) ∨ (¬T ∧ ¬K)) ∧ (U → (K ∧ V))] →
(T ∧ K)
V
F
U
K
T
p1
p2
p3
p4
p5
Prä
S1
S2
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Ergebnis: Tim und Kai kommen.
Von der Wertetabelle zur Formel
Umgekehrt zu den bisherigen Beispielen kann man auch logische Wertetabellen vorgeben und anhand dieser die zugehörigen Formeln ableiten. Dazu müssen nur wenige Regeln eigehalten werden. An einem Beispiel soll diese erläutert werden.
| a | b | E |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
Nur für die Zeilen, in denen bei E(rgebnis) ein w steht, werden berücksichtigt. Sind mehrere Zeilen mit dem Ergebnis w vorhanden, wird für jede Zeile eine Teilformel entwickelt und die einzelnen Teilformen mit Hilfe einer ODER-Verknüpfung verbunden. In den Teilformen werden nur UND-Verknüpfungen benutzt. Die Teilformeln sind so zu formulieren, dass immer der Wahrheitswert w entsteht. Enthält eine Teilaussage einen Wahrheitswert f, so muss er negiert werden.
In der Beispielstabelle hat E in der ersten und vierten Zeile den Wert w. Für die erste Zeile lautet die Teilformell demnach (a ∧ b). In der vierten Zeile müssen die Werte negiert werden, damit die Teilaussage wahr wird: ¬a ∧ ¬b. Die beiden Zeilen werden mit ODER verknüpft. Für das Ergebnis gilt dann E=(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ ¬b).