Zahlensysteme

Zahlensysteme: Wir alle kennen das normale Zehnersystem. Von Dualzahlen haben manche auch schon gehört. Aber Oktalzahlen und gar Hexadezimalzahlen? Diese Unterrichtsreihe soll Licht ins Dunkel der Zahlensysteme bringen.

Zahlen bestehen aus Ziffern. Das Dezimalsystem hat die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 und 9. Die Zahl 245 hat die Ziffern 2, 4 und 5. Mit Hilfe derselben Ziffern lassen sich aber auch die Zahlen 452, 425, 254, 524 oder 542 darstellen. Diese Zahlen unterscheiden sich durch ihren Wert; dieser hängt von der Position der Ziffer in der Zahl ab. Man spricht auch vom sogenannten Stellenwert. Jeder Position in der Ziffernfolge ist eine andere Bedeutung zugewiesen: die rechte Ziffer einer dreistelligen Dezimalzahl bezeichnet man als Einer, die links folgende als Zehner und die noch weiter links folgende als Hunderter. Der Wert der Ziffer ist dabei jeweils 10 mal so groß wie der Wert der vorhergehenden Ziffer. Den Wert der Zahl 245 kann man wie folgt aufschlüsseln: 2*100 + 4*10 + 5*1. Die Zahlen 100, 10 und 1 lassen sich als Zehnerpotenzen schreiben: 2*10² + 4*10¹ + 5*10⁰.  Da die Basis aller in dieser Schreibweise vorkommenden Potenzen die Zahl 10 ist, nennt man dieses Stellenwertsystem Zehner- oder Dezimalsystem.

Benutzt man eine andere Basis, erhält man andere Stellenwertsysteme. Das Dual- oder Binärsystem hat die Basis 2 und die Ziffern 0 und 1. Das Oktalsystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 besitzt die Basis 8. 16 Ziffern findet man im Hexadezimal- oder Sedezimalsystem. Da man aber nur 10 Ziffern kennt, benutzt man die Buchstaben A bis F als Ziffernzeichen. Die Basis dieser Zahlen ist die 16. Um die Zahlen der einzelnen Systeme zu unterscheiden, schreibt man die Zahlen wie folgt: 187₁₀, 1011₂, 453₈ und 3B₁₆.

Benutzt man eine andere Basis, erhält man andere Stellenwertsysteme. Das Dual- oder Binärsystem hat die Basis 2 und die Ziffern 0 und 1. Das Oktalsystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 besitzt die Basis 8. 16 Ziffern findet man im Hexadezimal- oder Sedezimalsystem. Da man aber nur 10 Ziffern kennt, benutzt man die Buchstaben A bis F als Ziffernzeichen. Die Basis dieser Zahlen ist die 16. Um die Zahlen der einzelnen Systeme zu unterscheiden, schreibt man die Zahlen wie folgt: 187₁₀, 1011₂, 453₈ und 3B₁₆.

Umwandlung von Dual-, Oktal- und Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Wie lassen sich die Zahlenwerte des einen Systems in einem anderen System darstellen? Die oben aufgeführten Beispielzahlen sollen in das Zehnersystem übertragen werden. Die Dualzahl 1011 lässt sich als Zweierpotenz wie folgt notieren: 1*2⁰ + 1*2¹+ 0*2² + 1*2³. Berechnet man die Werte dieser Zweierpotenzen erhält man 1 + 2 + 8 = 11. Der Zahl 1011 im Dualsystem entspricht die Zahl 11 im Dezimalsystem. Die Oktalzahl 453 lässt sich in die Achterpotenzen zerlegen und anschließend berechnen: 3*8⁰ + 5*8¹ + 4*8² = 3*1 + 5*8 + 4*64 = 299. Die Hexadezimalzahl 3B hat den Dezimalwert 3*16¹ + 11*16⁰ = 59.

Umwandlung Dezimalzahlen in anderen Stellenwertsysteme

Zahlen des Zehnersystems lassen sich durch das "Resteverfahren" in jedes beliebige Stellenwertsystem umwandeln. Beim "Resteverfahren" wird die Dezimalzahl durch die Basis des anderen Stellenwertsystems geteilt. Dabei erhält man einen ganzzahligen Quotienten und einen Rest. Der ganzzahlige Quotient wird wieder durch den Basiswert geteilt usw. Dieses Verfahren wird solange fortgesetzt, bis der Quotientenwert gleich Null ist. Die Reste ergeben von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl.

Beispiel: Die Dezimalzahl 37 soll in das Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem umgewandelt werden.

37 : 2 = 18 R 1
18 : 2 =   9 R 0
  9 : 2 =   4 R 1
  4 : 2 =   2 R 0
  2 : 2 =   1 R 0
  1 : 2 =   0 R 1
Die gesuchte Zahl lautet im Dualsystem 100101₂.

37 : 8 = 4 R 5
  4 : 8 = 0 R 4
Die gesuchte Zahl lautet im Oktalsystem 45₈.

37 : 16 = 2 R 5
  2 : 16 = 0 R 2
Die gesuchte Zahl lautet im Hexadezimalsystem 25₁₆.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Für die Addition von Dualzahlen gelten die folgenden Regeln:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11
Die beiden letzten Regeln zeigen, dass wie bei der Addition von Dezimalzahlen auch bei der Addition von Dualzahlen ein Übertrag auftreten kann.

Beispiel:
    1111
+  1110
   ¹¹¹
_______
   11101

Diese Überträge treten auch bei der Addition im Oktal- oder Hexadezimalsystem auf: Ist das Ergebnis größer als der Wert der höchsten Ziffer erfolgt ein Übertrag.

Beispiele (Oktalsystem):
    23               25             27
+ 44             +47           +62
                       ^{1              11}
_____          ____         ____
    67               74            111

Die Subtraktion von Zahlen erfolgt in jedem Stellenwertsystem wie innerhalb des Dezimalsystems. Auch hier muss man auf den Übertrag achten. Für das Dualsystem hätte man dann die folgenden Regeln:
0 - 0 = 0
0 - 1 = 11
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

Beispiel:
      11011
-     10110
        ¹
    _______
       00101

Es gibt jedoch noch eine andere Art der Subtraktion. Bei dieser Art der Subtraktion werden  Minuend und Subtrahend addiert. Die Lösung der Aufgabe 643 - 78 erfolgt in fünf Schritten:

1. Hat der Subtrahend weniger Stellen als der Minuend, so wird der Subtrahend links mit Nullen ergänzt, sodass beide Zahlen gleich viele Stellen besitzen: 643 - 078

2. Man ermittelt das Komplement des neuen Subtrahenden. Das Komplement ist die Zahl, die dem neuen Subtrahenden zur größtmöglichen Zahl fehlt, die ebenso viele Stellen hat. Die Zahl 078 hat drei Stellen; die größte Zahl mit drei Stellen ist 999. Dem Subtrahenden fehlen also 921. Diese Ergänzungszahl heißt im Dezimalsystem Neunerkomplement.

3. Man addiert um Komplement die Zahl 1. Im Beispiel erhält man den Wert 921 +  1 = 922.

4. Der Minuend und das um eins erhöhte Neunerkomplement werden addiert: 643 + 922 = 1565.

5. Der Übertrag wird gestrichen: Da die ursprünglichen Zahlen nur drei Ziffern hatten, wird beim Ergebnis die führende 1 gestrichen. Man erhält als Ergebnis 565.

Im Dualsystem ermittelt man das "Einerkomplement" und im Hexadezimalsystem das "Fünfzehnerkompliment". Ansonsten sind die Regeln gleich.

Beispiel (Dualsystem):

111001 - 1110 =

1. Schritt: Ergänzung der Stellen mit Nullen 111001 - 001110
2. Schritt: Komplementbildung des Subtrahenden 110001
3. Schritt: Addition von 1 zum Komplement 110001 + 1 = 110010
4. Schritt: Addition von Minuend und erhöhtem Komplement 111001 + 110010 = 1101011
5. Schritt: Streichung der führenden 1 101011

Beispiel (Hexadezimalsystem):

DFA - BAC =

1. Schritt: DFA - BAC (Ergänzung entfällt, da Minuend und Subtrahend gleich viele Stellen haben)
2. Schritt: FFF - BAC = 453 (FFF ist die größte dreistellige Zahl)
3. Schritt: 453 + 1 = 454
4. Schritt: DFA + 454 = 124E
5. Schritt: 24E

Die Multiplikation und Division in anderen Stellenwertsystemen kann wie im Dezimalsystem durchgeführt werden. Das "Kleine 1*1" gibt es auch in anderen Stellenwertsystemen. Im Dualsystem ist dies sehr übersichtlich. Es gibt nur die folgenden vier Multiplikationen: 0*0=0, 0*1=0, 1*0=0 und 1*1=1. Im Oktalsystem kann man wie im Dezimalsystem eine Tabelle aufstellen:

Im Hexadezimalsystem ist diese Tabelle schon deutlich umfangreicher:

Die Beispiele für Multiplikation und Division werden sich also auf das Dualsystem beschränken.

Beispiel Multiplikation:

110 * 11
-----------
      110
        110
     _{1 1}
-----------
    10010

Beispiel Division:

110 : 11 =10
11
---
00

1101001 : 111 = 1111
  111
-------
  1100
    111
  ------
    1010
      111
   ------
        111
        111
       -----
            0